一、笛卡尔积 × vs 自然连接 ⋈

很多新手容易混淆，先划重点：

  1. 笛卡尔积 (R×S)：只是把两张表所有行两两配对，不做筛选、不合并同名列；
  2. 自然连接 (R \bowtie S)：先做笛卡尔积 → 再自动筛选同名列值相等 → 再删掉重复的同名字段，是带条件、去重复列的笛卡尔积。

前置基础：表结构约定

设关系（二维表）

  • (R(A,B))：属性列 A、B
  • (S(B,C))：属性列 B、C
    公共列：B（同名同类型，自然连接的匹配键）

二、笛卡尔积怎么算

定义

若 (R) 有 (m) 行，(S) 有 (n) 行，笛卡尔积 (R×S) 有 (m×n) 行；
列 = R全部列 + S全部列，同名列会重复保留。

举例实操

设：
表R

A B
a1 b1
a2 b2

表S

B C
b1 c1
b3 c2

计算 R×S（笛卡尔积）

把R每一行，分别拼接S每一行：

  1. R第一行(a1,b1) + S第一行(b1,c1) → (a1,b1,b1,c1)
  2. R第一行(a1,b1) + S第二行(b3,c2) → (a1,b1,b3,c2)
  3. R第二行(a2,b2) + S第一行(b1,c1) → (a2,b2,b1,c1)
  4. R第二行(a2,b2) + S第二行(b3,c2) → (a2,b2,b3,c2)

结果表 (R×S)：

A B_R B_S C
a1 b1 b1 c1
a1 b1 b3 c2
a2 b2 b1 c1
a2 b2 b3 c2

规律：行数=R行数 × S行数，列直接拼接，同名字段分开存在。

三、自然连接 (R \bowtie S) 完整三步（核心）

自然连接 = 带匹配条件的笛卡尔积，固定3步：

步骤1：计算笛卡尔积 (R×S)

同上，得到所有组合行，包含重复同名列。

步骤2：筛选：所有同名属性取值相等

本例公共属性只有B，只保留：(R.B = S.B) 的行
看上面积笛卡尔积4行，只有第一行满足 (b1=b1)，其余全部删掉。

筛选后只剩一行：

A B_R B_S C
a1 b1 b1 c1

步骤3：删除重复的同名属性列

两列B内容完全一样，删掉一列，只留一个B。

最终自然连接 (R \bowtie S)

A B C
a1 b1 c1

四、总结

1. 笛卡尔积 R×S

  1. 行数 = R行数 × S行数；
  2. 列 = R所有列 + S所有列，同名列不合并、不删除；
  3. 无任何筛选，所有行随便配对。

2. 自然连接 R ⋈ S

三步流程：

  1. 求笛卡尔积 R×S；
  2. 筛选：两张表所有名字相同的列，对应数值必须相等；
  3. 去重：删掉重复的同名列，每种属性只保留一列；

特殊情况补充

  1. 两张表没有任何同名属性：自然连接等价于笛卡尔积，不会删任何行；
  2. 没有任何行满足同名列相等：自然连接结果是空表；
  3. 多张公共列（R(A,B,C),S(B,C,D)）：必须同时满足 R.B=S.B 且 R.C=S.C 才保留。

五、小练习

R(A,B,C)

A B C
1 2 3
4 5 6

S(B,C,D)

B C D
2 3 9
5 7 8
  1. 笛卡尔积共 2×2=4 行；
  2. 筛选条件：R.B=S.B 且 R.C=S.C，仅第一行匹配；
  3. 删重复B、C；
    最终自然连接：
    A B C D
    1 2 3 9